الرياضيات في القرآن الكريم

quran

الحمد لله الذي هدانا لهذا وما كنا لنهتدي لولا إن هدانا الله ، إن الله سبحانه وتعالى خالق الكون وهادي العباد قد انعم على الإنسان بنعمة العقل لكي يفكر ويتدبر ويبحث ويتعلم . نستشهد هنا ببعض آيات القران الكريم للإشارة إلى علم الرياضيات.

1- الحساب : قال تعالى { هو الذي جعل الشمس ضياء والقمر نوراً وقدره منازل لتعلموا عدد السنين والحساب ما خلق الله ذلك إلا بالحق يفصل الآيات لقوم يعلمون } [ يونس 5 ] .

2- الأعداد : قال تعالى { وإلهكم إله واحد لا إله إلا هو الرحمن الرحيم }[البقرة163 ] . { يأيها النبي حرض المؤمنين علي القتال إن يكن منكم عشرون صابرون يغلبوا مائتين وإن يكن منكم مائة يغلبوا ألفا من الذين كفروا بأنهم قوم لا يفقهون} [ الأنفال 65 ] .

3- ترتيب الأعداد : قال تعالى : { سيقولون ثلاثة ورابعهم كلبهم ويقولون خمسة وسادسهم كلبهم ويقولون سبعة وثامنهم كلبهم }[ الكهف 22 ] ( 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ) .

4- الجمع : قال تعالى { فصيام ثلاثة أيام في الحج وسبعة إذا رجعتم تلك عشرة كاملة } [ البقرة 196] ( 3 + 7 = 10 ) .

5- الطرح : قال تعالى { ولقد أرسلنا نوحاً إلى قومه فلبث فيهم ألف سنة إلا خمسين عاماً فأخذهم الطوفان وهم ظالمون } [ العنكبوت 14 ] ( 1000 – 50 = 950 ) .

6- الضرب : قال تعالى : { مثل الذين ينفقون أموالهم في سبيل الله كمثل حبة أنبتت سبع سنابل في كل سنبلة مائة حبة والله يضاعف لمن يشاء والله واسع عليم } [ البقرة 261 ] . ( 7 × 100 = 700 ) .

7- القسمة : قال تعالى : { وإن طلقتموهن من قبل أن تمسوهن وقد فرضتم لهن فريضة فنصف ما فرضتم } [ البقرة 237] ( المهر ÷ 2 ) .

8- الضرب والجمع : قال تعالى : { والذين يتوفون منكم ويذرون أزواجا يتربصن بأنفسهن أربعة أشهر وعشراً } [ البقرة 234 ] . ( 4 × 30 + 10 = 120 + 10 = 130 ) .

8- الضرب والجمع : قال تعالى : { والذين يتوفون منكم ويذرون أزواجا يتربصن بأنفسهن أربعة أشهر وعشراً } [ البقرة 234 ] . ( 4 × 30 + 10 = 120 + 10 = 130 ) .

10- ترتيب الكسور : قال تعالى : { إن ربك يعلم أنك تقوم أدنى من ثلثي الليل ونصفه وثلثه } [ المزمل 20 ].

11- الهندسة : قال تعالى : { وسارعوا إلى مغفرة من ربكم وجنة عرضها السماوات وألا رض أعدت للمتقين } [ أل عمران 123] . { ولا تمشى في الأرض مرحا إنك لن تخرق الأرض ولن تبلغ الجبال طولا }[ الإسراء 37 ] .

أقوال في الرياضيات 

“الرياضيات هي تلك المتعة التي يبحث عنها الأذكياء ويحاولون استكشاف أسرارها وحل مجهولاتها”

images

أقوال في الرياضيات

“لاينبغي لأي عالمٍ أن يدَّعي أنهُ عالمٌ مالم يكن مُلماً بالرياضيات”

                                                   أ.أماني الكثيري

“علمتني الرياضيات -إلى جانب التفكير السليم- أن أصبرَ حتى أصلَ إلى هدفي.”

                                                  أ.أماني الكثيري

 

“من تعلم القرآن عظُمت قيمته ومن نظر في الفقه نبُل مقداره ومن تعلم اللغة رَقَّ طبعه ومن تعلم الحساب جَزُلَ رأيه ومن كتب الحديث قويت حجته ومن لم يصن نفسه لم ينفعه علمه”.
الإمام الشافعي- رحمه الله-

“هناك أشياء تبدو غير قابلة للتصديق لمعظم الذين لم يدرسوا الرياضيات” .

                                                   أرخميدس

“إن موجودات الكون لا يمكن أن تكون واضحة بدون الرياضيات”

                                                   بيكون

” الرياضيات لا تعرف حدود القومية والجغرافية وبفضلها أصبحت الثقافة العالمية كأنها بلد واحد”

                                                                   جلبرت

 “المالانهاية والمالاينقسم تسموان فوق فهمنا، الأولى لضخامتها والثانية لضآلتها، وتخيل ما تفعلان اذا اجتمعتا”.

                                                                     جاليليو

” يحكى أن الذي بدأ يتعلم الهندسة مع اقليدس سأله عن أول فرضية هندسية واجهته قائلاً: وماذا أستفيد من هذه الأشياء؟ فنادى اقليدس خادمه وقال له: أعط الشاب 3 بنسات اذا كان يريد أن يتكسب مما تعلم!”.

                                                                           اقليدس

 “إذا كانت هناك مسألة لا تستطيع حلها، فهناك مسألة أخرى أسهل منها لا تستطيع حلها فأبحث عنها”.

       بوليا

 “علمني اقليدس أنه بدون فروض لا يمكن أن يكون هناك برهان، لذلك في أي مناقشة أبدأ بفحص الفروض”.

                                                                      بـــــل

“في حياتنا شيئان مهمان: أن نتعلم الرياضيات وأن نُدرِس الرياضيات”.

سيمون دونيس عالم رياضيات وفيزياء.

 

كن طموحًا تنجح

الطفل المعجزة أو البروفيسور الكوري ( كيم أونج – يونج kim ung-yong ) .. بدأ التحدث وهو يبلغ ثلاثة أشهر فقط !
.. أتقن 4 لغات ( الكورية ، اليابانية ، الألمانية ، والإنجليزية ) في سن الثانية
.. التحق بالجامعة في سن الرابعة، ثم تخرج منها في الثامنة من عمره ! ..عمل بوكالة الفضاء الأمريكية ناسا وهو في سن الثانية عشرة !
.. سُجل اسمه في موسوعة جينس للأرقام القياسية؛ باعتباره صاحب أعلى درجة في العالم في اختبار الذكاء IQ وهي 210
الطموح غير مرتبط بوقت أو سن .. كن طموحًا تنجح

 

10277673_637815399628330_3266720478985247804_n

العدد الحقيقي R


العدد الحقيقي R :

120px-Latex_real_numbers.svg

في الرياضيات، عدد حقيقي (بالإنكليزية: Real number) هو قيمة كمية ما تمثَّل عادة على مستقيم متصل. مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجموعةأعداد تتكون من مجموعة الأعداد غير النسبية (R\Q) ومجموعة الأعداد الكسرية (Q). تشمل مجموعة الأعداد الكسرية مجموعة الأعداد الصحيحة(Z) و الكسور, وتشمل مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الطبيعية(N).

وبذلك تكون:

مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الكسرية والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.

مجموعة الأعداد الطبيعية تبدأ من الصفر إلى موجب ما لا نهاية بزيادة واحد صحيح في كل مرة، أما مجموعة الأعداد الصحيحة فتشتمل على الأعداد من سالب ما لا نهاية بالإضافة إلى الصفر بالإضافة إلى الأعداد الموجبة التي تحتويها مجموعة الأعداد الطبيعية بزيادة واحد صحيح كل مرة، أما الأعداد الكسرية فتتكون من كسور الأعداد الصحيحة في صورة بسط ومقام, أما الأعداد الحقيقية فتشمل المجموعات السابقة كلها بالإضافة إلى الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل كسور مثل الπ (الباي) أي الأعداد اللا الكسرية.

يمكن تصور الأعداد الحقيقية بأنها أعداد غير متناهية على خط مستقيم. وتأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية. كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها. يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية وغير دورية في حالة الأرقام غير الكسرية أو الدورية في حالة الأعداد الكسرية. نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة أو أعداد كسرية.350px-Real_number_line.svgمجموعات_الأعداد

أنواع الدوال . 

الدوال من حيث عدد المتغيرات

– الدوال ذات المتغير المستقل الواحد مثل :

(Y= f(x

مثل العلاقة بين الدخل والإنفاق

– الدوال ذات متغيرين مستقلين مثل :

(Z= f(x,y

مثل مساحة المستطيل

– الدوال ذات ثلاثة متغيرات مستقلة

(u=f(x,y,z

مثل حجم متوازي المستطيلات .

الدوال من حيث الشكل الرياضي

منها دوال جبرية ودوال أسية ودوال لوغاريتمية ومثلثية وغيرها , وهي كمايلي :


الداله الثابتة


يقال للداله f بأنها داله ثابتة إذا كان مداها مكون من عدد ثابت c أي أن قاعدة تعريفها هي :

f(x)=c

حيث c ∈R .

رسم الداله

  

– داله التطابق

يقال للداله f : R→ F بأنها دالة تطابق إذا كانت صورة كل عنصر في المجال , العنصر نفسة في المدى :

f(x)=x , ∀ x∈ R

الشكل البياني للداله :

  

وهو عبارة عن خط مستقيم يمر بنقطة الأصل ويميل على الأفقي بزاوية 45 ونطاقها أي مجموعة تعريفها تساوي مجموعة الأعداد الحقيقية , ومداها مجموعة الأعداد الحقيقية , إلا في حال التعريف على مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية .

– الدوال كثيرة الحدود

وتكتب على الصورة :

f(x)=an xn+ an-1 xn-1 + an-2 xn-2+………………………+ a0 x0 +a0  

ويقال بأنها كثيرة حدود من الدرجة n (0≠ a0) , n عدد صحيح موجب , a0, a1 , a2, ……………., an ∈R

تسمى معاملات الداله , وهي عبارة عن أعداد حقيقية ثابتة , ونطاق ( مجال , أو مجموعة تعريف الداله هي مجموعة الأعداد الحقيقية R ) .

دالة القيمة المطلقة

ويكتب هذا النوع من الدوال كالتالي :

  

مجال دالة القيمة المطلقة R , أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة [0,∞[

– الدالة الدراجية ( المقياس ) , أو دالة الصحيح .

يرمز لها بالرمز [X] , وقاعدتها [f(x)=[xحيث [X] هو أكبر عدد صحيح يكون أقل من أو يساوي Xأي أن : X] =n ⇔ n ≤ x < n-1 , n-1]

ويسمى n بالجزء الصحيح في X أي أن :

X]= [X]+ ɑ , 0 ≤ɑ<1] 

وشكل هذا المعادلة البياني :

  

  أمثلة على الدالة :

[ 0.3]=0 , [5]=5 , [-4.3]=-5

مجال ومدى دالة الصحيح

مجال دالة الصحيح هو مجموعة الأعداد الحقيقية R ومداها مجموعة الأعداد الصحيحة .    

  

الدالة الأسية

وهذه الدالة هي الأكثر إستخداما في التطبيقات ولتسهيل الكثير من الحسابات , فهي تستخدم في الفيزياء والبيولوجيا والكيمياء والعلوم الهندسية , والحاسبات .

وقاعدة الدالة تعرف كالأتي :

f(x)=ax ,a > 0 , a ≠1

حيث a عدد حقيقي موجب .

مجال الدالة الأسية

مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة

مدى الدالة الأسية

مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[

حاله خاصة

وهي حاله ذات أهمية كبيرة لدى علماء الرياضيات وهي عندما a =eوتسمى ( الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي , ويسمى بالأساس الطبيعي للوغاريتمات وله قيمة تقريبية تساوي 2.71828

بيان الدالة :

  

الداله اللوغاريتمية

وتعرف هذه الداله بالقاعدة التالية :

y = Loga x , a > 0 , a ≠

وعندما a =e تكتب الداله على الصورة الأتية :

y = Loga x or y = Ln x

مجال الدالة

هو مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة .

ومدى الداله

مجموعة الأعداد الحقيقية

ونستنتج من ماسبق أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للداله الأسية .

أي أن :

Ln b =x ⇔ ax=b

بيان إبداله : 

  

الكسرية

هي الدالة التي يمكن كتابتها والتعبير عنها بخارج قسمة كثيرتي حدود الصورة :

  

حيث أن :

P(x) , q(x) كثيرتي حدود .

مجال ومدى الداله

مجال الداله هو جميع الأعداد الحقيقية ماعدا التي تجعل المقام يساوي صفرا (q(x) =0 ) , حيث أن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .

مداها هو حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .

الدوال الجذرية

وهي تكتب على الصورة :

  

مجال ومدى الداله :

مجال الداله مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ماتحت الجذر أكبر أو يساوي صفر , أما مداها هو حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .

الدوال المثلثية

هي الدوال المعداة بواسطة علاقات حساب المثلثات وهي :

y=sinx , y = cosx , y = tanx

وهناك دوال أخرى ممكن نعرفها كالتالي :

  

بيان الداله 

  

مجال الداله ومداها

مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية , ومداها هو [-1 , 1]

Topology 

ما هو علم التوبولوجي ؟
التوبولوجي كلمة مترجمة من الكلمة الإنجليزية Topology ، و تنقسم كلمة التوبولوجي إلى مقطعين المقطع الأول ( Topo) التي تعود إلى أصل يوناني إلى ( Topos ) و التي تعني “مكان” ( Place ) ، و المقطع الثاني هو (logy ) و التي تعود لأصل يوناني ( Logos ) و التي تعني “دراسة” ( Study ) ، فلو قمنا بعملية ربط المعنيين في الكلمة ، لوجدنا أن التوبولوجي هو الهندسة الحديثة في دراسة جميع التراكيب والمكونات للفضاءات المختلفة .
إذن يعرف علم التوبولوجي :
هو أحد فروع علم الرياضيات و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و خضائص جميع الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهه تحت عمليات التشكيل المتصلة ( Smooth Deformations ) دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في الإنتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .
و كأن التعريف يخبرنا أن الهندسة التي يتعامل بها التوبولوجي ليست الهندسة التي نعرفها ، بل كأنها هندسة مطاطية ، و لكي يتضح المفهوم بشكل جيد ، لندرس الآتي :
من المعلوم لدينا أن المستوى الإقليدي في الهندسة الإعتيادية التي نعرفها ، أنه بإمكاننا أن نقوم بعملية نقل الأشكال من مكان إلى آخر عن طريق الإزاحة ، و بإمكاننا أيضاً أن نقوم بعملية دوران له و عكسه و قلبه ، و لكن لا نستطيع القيام بعملية ثني له أو القيام بعملية تمدد بشكل متصل .
مفهوم الهندسة المطاطية :
 بشكل موجز أن الأشكال عبارة عن قطع من المطاط قابلة للثني و التمدد ، و كل شكلين أوأكثر بإمكاننا أن نحصل على أحدهما من الآخر و بالعكس يكونا متشابهين .
 
فمثلاً :
المثلث و الدائرة و المربع ، كلها أشكال موجودة في المستوى الإقليدي بخصائصها ، و نقول أن أحدهما كافىء الآخر إذا كان لهما نفس المساحة .
في الهندسة المطاطية جميع هذه الأشكال هي نفسها متشابهه ، فالدائرة هي نفسها المثلث ، و السبب يعود إلى أنه يمكن تشكل المثلث من الدائرة بثني محيط الدائرة و جعلها كزوايا للمثلث و بالعكس يمكن إعادة تشكل الدائرة من المثلث بعملية تمديد أضلاع المثلث إلى دائرة ، و هذا أيضاً ينطبق على المستطيل .
لاحظ أنه عندما قمنا بتشكل أحد هذه الأشكال من الآخر لم نقم بعملية قطع Cut لأحدها و لم نقم بعملية تزيق للشكل من جهة أي ترك أي نقطة انفصال .و بالتالي في الهدنسة المطاطية ( التوبولوجي ) يكون الأشكال متشابهه إذا استطعنا الحصول على أحدهما من الآخر بعمليات متصلة و بالعكس . و بالتالي الدائرة لا تشابه الشكل الذي يشبه الرقم 8 بسبب أنه يمكن الحصول عليه من قبل الدائرة و لكن في العكس لا يمكن ، بل سنحتاج إلى فصل منتصف رقم 8 لم نحتاج إلى أي نقطة انفصال من الدائرة إلى الرقم 8 ، و قيس عل ذلك بأمثلة عديدة .
نستطيع القول بأن الأشكال التي تشترك بنفس العدد من الفتحات ( نقاط الإنفصال ) يكون كلاهما متشابه في الهدنسة المطاطية ، أي كلاهما يشتركان في نفس التوبولوجي ، و التي لا تحوي على أي فتحة تدعى مترابط بشكل بسيط Simply connected space.
التوبولوجي يدخل تقريباً في جميع فروع الرياضيات بلغته الخاصة و المميزة .
فروع التوبولوجي 
يتفرع التوبولوجي لعدة فروع و هي :
1) التوبولوجي النقطية ( point-set Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم بالتوبولوجي العامة من ناحية خصائص الفضاء من ناحية التراكيب كدراسة Compactness التراص و Connectedness ( الترابط ) .
2) التوبولوجي الجبرية ( Algebraic Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم بشكل عام في دراسة درجات الترابط من خلال التراكيب الجبرية ، مثل دراسة علم الهمولوجي ( Homology ) .
3) التوبولوجي الهندسية ( Geometric Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم في دراسة Manifolds ( بنية رياضية كل نقطة فيها لها جوار يكون هميومورفيك إلى الفضاء الإقليدي ) ( و يهتم بالأبعاد حسب أبعاد الفضاء الإقليدي ) .
تأريخ التوبولوجي بشكل موجز 
بدأ التفكير في التوبولوجي من خلال مشكلة أولير في المسألة المشهورة ” السبعة الجسور في مدينة كونسبريك” (Seven Bridges of Königsberg) ، و كانت ورقة أويلر عام
1736 أول نتيجة على الفضاء التوبولوجي .
أول من قدم مصطلح التوبولوجي هم الألمان باسم ” Topologie ” عام 1847 بواسطة جوهان بندكت ، و من ثم أظهر أصحاب التخصص في اللغة الإنجليزية أن كلمة Topologist هو كل شخص متخصص في التوبولوجي .
أما التوبولوجي الحديثة فتعمد بشكل قوي جداً على مفاهيم نظرية المجموعات التي أسست من قبل كانتور في أواخر القرن التاسع عشر .
قام عدة علماء بوضع تعاريف محددة له ، فقام العالم أسكولي و غيرهم بوضع أول تعريف للفضاء المتري الذي يعتبر حالة خاصة في التوبولوجي حالياً في سنة 1906 .
و بعدها قام العالم هاوسدورف بوضع تعريف له و الذي يعرف حالياً بفضاء هاوسدورف المشهور جداً في سنة 1914. و لكن أتى العالم كزميرز كورتويسكي Kazimierz Kuratowski. سنة 1922 بوضع التعريف المعروف لدينا حالياً .
أمثلة 
من أشهر المقولات من باب الدعابة في التوبولوجي هي :
“A topologist is a person who cannot tell a coffee cup from a doughnut ”
و تقول هذه العبارة أن :
متخصص التوبولوجي لا يستطيع التميز بين كوب القهوة ( الذي له يد واحدة ) مع قطعة الكعكة ( الدائرية)
و السبب أنه كلاهما له فتحة واحدة و و يمكن تشكيل أحدهما إلى الأخر و بالعكس دون وجود أي عملية فصل ،و هي أحد تطبيقات علم التوبولوجي الجبرية في Homology و الشكل الآتي يبن ذلك :

منقول ( http://www.startimes.com/?t=14401132

الموتر ” tensor “

IMG_1073

” الهدف من موضوع اليوم هو القاء بعض الضوء على موضوع التنسور او الموتر كما هى الترجمة العربية. وليس الهدف ان يصبح القارئ خبيرا في هذا الميدان فهنا ليس المكان لذلك. ولكنى فقط احب ان اشير الى انه يوجد شئ في الرياضيات اسمه حساب التنسور واحب ان اجنب القارئ موقف مشابه لموقف مر بي عندما سمعت بهذا المصطلح لاول مرة.فبالرغم من اننى كنت قد انهيت دراستى في الهندسة المدنية في مصر فاني قد صعقت عندما سمعت بهذا المصطلح لاول مرة في حياتى في المانيا . فهذا موقف احب ان اجنبكم اياه في المستقبل لمن لم يسمع عن التنسور او الموتر من قبل.

موضوع الموترات هو موضوع فيزيائى ورياضى ولكنه ظهر في ميدان الفيزياء اولا ثم التقطه الرياضيون بعد ذلك وهذبوه ونقوه من التناقضات وصار بعد ذلك موضوعا رياضيا. وكان لالبرت اينشتاين دورا كبيرا في شهرة حساب الموترات لانه استخدم هذا الحساب في نظريته النسبية العامة.

وفي الفيزياء توجد انواع عديدة من الكميات فهناك كميات قياسية وكميات متجهة ثم كميات موترة او تنسورية.فما هو الفارق بين هذه الكميات؟ الكميات القياسية يعبر عنها برقم واحد بالاضافة الى وحدة للقياس. فمثلا عندما نقول عن كتلة شئ انها 3 كجم فان مانحتاجه هو رقم واحد وهو الرقم ثلاثة بالاضافة الى وحدة القياس وهي الكيلوجرام. اي ان كتلة الشئ اللذي امامى هي ثلاثة اضعاف كتلة جسم قياسى يستخدم لقياس الكتل. وكذلك الحال بالنسبة للطول 3 متر او للزمن 3 ثوانى. ففي كل هذه الحالات احتاج لرقم واحد من اجل تعيين الكمية تعيينا كاملا. ثم تأتى بعد ذلك الكميات المتجهة. وكلمة متجه او vector تعنى باللغة اللاتينية سائق او انه يوجه في اتجاه معين. وهذا النوع من الكميات لا يمكننى ان اصفه عن طريق رقم واحد. ولكنى احتاج لاكثر من رقم لاصف الكمية اللتى امامى.مثال على ذلك هي الازاحة: فاننى اذا طلبت منك ان تزيح كوبا من الماء موضوع فوق منضدة فارغة مسافة 50 سم فانت سوف تسألنى في اى اتجاه ينبغى ان تزيحه للامام؟ للخلف؟ لليمين؟ لليسار؟ فالازاحة تحتاج بجانب مقدار المسافة وهو 50 سم رقم اخر يعبر عن الاتجاه. وقد يكون هذا الرقم مثلا عبارة عن الزاوية اللتى يصنعها الاتجاه المقصود مع اتجاه الشمال الجغرافى مقاسة في اتجاه دوران عقرب الساعة. فعندما اقول مثلا ان عليك ان تحرك الكوب مسافة 50 سم بالزاوية 90 درجة فانني اعنى بذلك ان تحرك الكوب 50 سم في اتجاه الشرق. ولكن عموما فان المتجهات يتم التعبير عنها في الاحداثيات الكارتيزية بمجموعة ارقام يساوي عددها عدد الابعاد في الفضاء الموجود. ويعبر عن المتجه رياضيا بصورة مصفوفة ذات عمود واحد. مثال اخر قد يبدو غريبا للمتجه هو قياس البنطلون الجينز.حيث يعبرعن المقاس برقمين مثلا 36 : 34 فرقم يعبر عن الطول ورقم يعبر عن مقاس الوسط. اذن فقياس البنطلون الجينز كمية متجهة

ثم نأتى بعد ذلك للموترات او التنسورات. وهي كلمة مشتقة من الكلمة Tesnion بمعنى شد او توتر ولذلك تأتى الترجمة العربية اللتى قد تبدو غريبة بعض الشئ الموترات. و الموترات هي عبارة عن متجهات فائقة. بمعنى كما ان المتجه عبارة عن مجموعة من الارقام او الكميات القياسية فان الموتر هو عبارة عن مجموعة من المتجهات. مثال : عندما اطلب منك ان تزيح عصا طويلة موجودة فوق الطاولة في اتجاه ما. فان متجه واحد لن يكفى لوصف هذه العملية. لماذا؟ لان كوب الماء في المثال السابق يمكننا تخيله كنقطة واحدة.اما في حالة العصا فانها قد لا تحافظ بالضروة بعد ازاحتها على نفس الاتجاه اللتى كانت تاخذه قبل الازاحة. فمثلا قد تكون العصا تشغل في البداية اتجاه الشمال _ الجنوب ولكنها بعد الازاحة ينبغى ان تأخذ اتجاه الشرق _ الغرب. ومن هنا فاننا نري ان متجه واحد لايكفي لوصف هذه العملية بل نحن في حاجة الى مجموعة من المتجهات. ويعبر عن عن الموترات بصورة مصفوفة ذات صفوف و اعمدة.

الموترات الفائقة يمكن تصورها كمصفوفات في ثلاثة ابعاد

ثم ان هناك درجة اعلى من الموترات وهي الموترات الفائقة وهي بدورها عبارة عن مجموعة من الموترات لوصف عملية ما.مثال لذلك اذا طلبت منك ازاحة عصا طويلة موضوعة على منضدة مسافة ما. وكما راينا ان هذه العملية تحتاج لموتر كما سبق ووضحنا. فاذا اضفت ان العصا بعد ازاحتها لن تحافظ على استقامتها بل انها ستأخذ شكلا مقوسا ما فاننا نري ان موترواحد لن يكفي لوصف هذه العملية بل اننا نحتاج الي مجموعة من الموترات او موتر فائق.

وهكذا فاننا نري انه لا توجد نهاية لهذه العملية و استطيع ان اعرف موترات فوق الفائقة وهكذا الى مالانهاية. وفي بعض الكتب نجد ان الكميات القياسية يتم توصيفها بانها موترات من الدرجة صفر اما المتجهات فهي موترات من الدرجة الاولى ثم ان الموترات العادية هي من الدرجة الثانية اما الموترات الفائقة فهي من الدرجة الثالثة وهكذا.

وهناك نقطة احب ان اشير اليها وهي ان الموتر في الفيزياء هو عبارة عن كمية فيزيائية حقيقية وبالتالى فهى تحافظ على قيمتها بغض النظر عن محاور الاسناد اللتى استخدمها لتوصيف هذه الكمية. ولهذه النقطة دور مهم في النظرية النسبية العامة. حيت ان جميع القوانين الفزيائية تحافظ على صورتها بغض النظر عن محاور الاسناد.

نقطة اخرى احب ان اشير اليها وهي انطباع شخصي وقد يكون خاطئا.انطباعى اوملاحظتى انه في الدول المختلفة يتم التعامل مع الرياضيات بروح مختلفة بعض الشىئ . فمثلا في مصر يتم التركيز بشكل كبير على الهندسة و الهندسة الفراغية وينبغى على الطالب ان ينمى قدرته على التخيل الفراغي وان يستطيع ان يتخيل شكل خطوط مساعدة غير موجودة في المسألة من اجل الوصول لحل مسألة ما. وهذا امر قد يبدو طبيعيا في بلد اقليدس واضع الهندسة الاقليدية.ولكن في بلد اخر مثل المانيا يتم التركيز على الرياضيات من جهة الجبر اكثر. فالمتغيرات والمعادلات تلعب الدور الاكبر وهذا طبيعيى في بلد هلبرت اللذي دعا الى تجريد الهندسة من الرسوم والصور. وملاحظتى ان التركيز في المدارس الالمانية لايكون على الهندسة الفراغية ولكن يتم التعامل معها بسطحية شديدة ولكن التركيز يكون بصورة اكبر على الهندسة التحليلية او الهندسة الجبرية اللتى يتم فيها تحويل المفاهيم الهندسية كنقطة وخط ومستوى الى معادلات جبرية متجهة. اي ان المتجهات تلعب هنا الدور الاكبر في وصف الهندسة. ثم تأتي بعد ذلك الهندسة التفاضلية اللتى تعبر عن هندسات اعقد من الهندسة الاقليدية كهندسة ريمان. وهنا يلعب التنسور او الموتر دورا كبيرا. وفي هذا الميدان يحتاج الانسان الى معلومات متطورة في حساب المتجهات وحساب الموترات والتفاضل والدوال بدلالة اكثر من متغير وتفاضل هذه الدوال تفاضل جزئي او تفاضل كامل.

في النهاية اضيف نقطة اخيرة وهي ان للموترات دورا هائلا في الفيزياءالحديثة. فاي كمية او اي قانون فيزيائى سليم يجب ان ياخذ صورة معادلات تنسورية بشكل او باخر. وقد يكون الموتر في هذه الحالة من الدرجة صفر او او واحد او اثنين او ثلاثة او اعلى من ذلك.”
(منقول . )